L'énoncé d'Euclide

Dans « les Éléments » de géométrie d’Euclide, on peut retrouver l’énoncé suivant : « si l’on conduit une droite qui soit parallèle à un des côtés d’un triangle, cette droite coupera proportionnellement les côtés de ce triangle ; et si deux côtés d’un triangle sont coupés proportionnellement, la droite qui joindra les sections sera parallèle au côté restant du triangle. »

On constate que les rapports obtenus par cet énoncé sont tout simplement équivalents au coefficient de proportionnalité que l’on calcule lorsque l’on a deux triangles semblables. Celui-ci correspond aussi au rapport de l’homothétie de centre A qui applique le triangle ABC sur le triangle ADE. C’est pourquoi il existe de nombreuses ambiguïtés entre le théorème de Thalès et les triangles semblables. 

Pour éviter ces confusions, on va permuter les moyens de la proportion de telle sorte à en obtenir une nouvelle. Cette proportion nous permet alors de nous rapprocher de la généralisation du théorème que l’on découvrira plus tard et nous permettra ainsi de nous baser uniquement sur les rapports suivants :